(1) 不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。 (2) 不等式 $ax < 4 - 2x < 2x$ の解が $1 < x < 4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

(2) 不等式 $ax < 4 - 2x < 2x$ の解が $1 < x < 4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解きます。

$ax + a > x + a^2$

$ax - x > a^2 - a$

$(a - 1)x > a(a - 1)$

$a > 1$ のとき、

$x > \frac{a(a - 1)}{a - 1}$

$x > a$

$a < 1$ のとき、

$x < \frac{a(a - 1)}{a - 1}$

$x < a$

$a = 1$ のとき、

$0 > 0$ となり、解なし。

(2)

不等式 $ax < 4 - 2x < 2x$ を解きます。

まず、$4 - 2x < 2x$ を解くと、

$4 < 4x$

$1 < x$

次に、$ax < 4 - 2x$ を解きます。

$ax + 2x < 4$

$(a + 2)x < 4$

与えられた条件から、この不等式の解が $1 < x < 4$ となる必要があります。

$a + 2 > 0$ のとき、$x < \frac{4}{a + 2}$

$a + 2 < 0$ のとき、$x > \frac{4}{a + 2}$

$a + 2 = 0$ のとき、$0 < 4$ となり、常に成立する。

$1 < x < \frac{4}{a+2}$ となればよいので、$x < \frac{4}{a + 2}$ かつ $1 < x$。

したがって、$\frac{4}{a + 2} = 4$。

$4 = 4(a + 2)$

$1 = a + 2$

$a = -1$

$a + 2 > 0$である必要があるため、$a > -2$。

$a = -1$ はこの条件を満たします。

また、$x > \frac{4}{a + 2}$のとき、$1 < x < 4$ にならないので、この場合は考えません。

3. 最終的な答え

(1)

$a > 1$ のとき、$x > a$

$a < 1$ のとき、$x < a$

$a = 1$ のとき、解なし

(2)

$a = -1$