1. 問題の内容
与えられた6つの行列の階数をそれぞれ求める問題です。行列の階数とは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数のことです。
2. 解き方の手順
行列の階数を求めるには、一般的に以下の手順を用います。
1. 行列を簡約化（階段行列に変形）する：基本変形（行の入れ替え、行のスカラー倍、ある行のスカラー倍を別の行に加える）を繰り返し行い、行列を階段行列に変形します。
2. 階段行列において、0でない行の数を数える：これが元の行列の階数となります。
以下、各行列について階数を求めていきます。
(1)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 2 & 4 \\
5 & 3 & 7
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引く、3行目から1行目の5倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 3 & -3
\end{pmatrix}
3行目から2行目の3/2倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -3
\end{pmatrix}
よって階数は3。
(2)
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 6 \\
2 & 4 & 1 & 8 \\
3 & 7 & 2 & 15
\end{pmatrix}
1行目と2行目を入れ替える
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & 8 \\
0 & 2 & 1 & 6 \\
3 & 7 & 2 & 15
\end{pmatrix}
3行目から1行目の3/2倍を引くと
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & 8 \\
0 & 2 & 1 & 6 \\
0 & 1 & 1/2 & 3
\end{pmatrix}
3行目から2行目の1/2倍を引くと
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & 8 \\
0 & 2 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
よって階数は2。
(3)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 4 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & -1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
3行目から1行目を引く、4行目に1行目を足す、5行目から1行目の2倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 4 & 2 & 1 \\
0 & 3 & -1 & 2 \\
0 & -1 & 3 & -2
\end{pmatrix}
3行目に2行目の4倍を足す、4行目に2行目の3倍を足す、5行目から2行目を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
4行目から3行目の1/3倍を引く、5行目から3行目の1/3倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
よって階数は3。
(4)
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & -1 & -4 \\
3 & 3 & 2 & 1 & -1 \\
5 & 1 & 4 & 3 & 5 \\
11 & 1 & 9 & 6 & 13
\end{pmatrix}
2行目から1行目の3/2倍を引く、3行目から1行目の5/2倍を引く、4行目から1行目の11/2倍を引くと
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & -1 & -4 \\
0 & -3 & 1/2 & 5/2 & 5 \\
0 & -9 & 3/2 & 11/2 & 15 \\
0 & -21 & -5/2 & 17/2 & 35
\end{pmatrix}
3行目から2行目の3倍を引く、4行目から2行目の7倍を引くと
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & -1 & -4 \\
0 & -3 & 1/2 & 5/2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -6 & -9 & 0
\end{pmatrix}
3行目と4行目を入れ替える
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 & -1 & -4 \\
0 & -3 & 1/2 & 5/2 & 5 \\
0 & 0 & -6 & -9 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{pmatrix}
よって階数は4。
(5)
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引く、3行目から1行目の3倍を引く、4行目から1行目の4倍を引く、5行目から1行目の5倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
0 & -2 & -4 & -6 & -8 \\
0 & -3 & -6 & -9 & -12 \\
0 & -4 & -8 & -12 & -16
\end{pmatrix}
3行目から2行目の2倍を引く、4行目から2行目の3倍を引く、5行目から2行目の4倍を引くと
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
よって階数は2。
(6)
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 & 1 & -3 \\
1 & 1 & -6 & -2 & -4 \\
-2 & 1 & 7 & 3 & 1
\end{pmatrix}
2行目に1行目を足す、3行目から1行目の2倍を引くと
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 & 1 & -3 \\
0 & 3 & -5 & -1 & -7 \\
0 & -3 & 5 & 1 & 7
\end{pmatrix}
3行目に2行目を足すと
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 & 1 & -3 \\
0 & 3 & -5 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
よって階数は2。
3. 最終的な答え
(1) の階数は 3
(2) の階数は 2
(3) の階数は 3
(4) の階数は 4
(5) の階数は 2
(6) の階数は 2