(1) $x, y$ は実数である。命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。 (2) $n$ は整数である。命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を対偶を考えて証明せよ。

1. 問題の内容

(1) $x, y$ は実数である。命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。

(2) $n$ は整数である。命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を対偶を考えて証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: 「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」

逆: 「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」

反例：$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ のとき、$x,y$はともに無理数だが、$x-y = 0$, $xy = 2$となり、$x-y$も$xy$も有理数である。したがって、逆は偽である。

対偶: 「$x, y$ がともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」

$x, y$ が有理数ならば、$x-y$ は有理数であり、$xy$ も有理数である。したがって、対偶は真である。元の命題も真である。

(2)

元の命題: 「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」

対偶: 「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ (kは整数) と表せる。

$3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1$

$3k+1$ は整数であるから、$3n$ は奇数である。

したがって、対偶は真である。よって、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1)

逆: 「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」

真偽: 偽

対偶: 「$x, y$ がともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」

真偽: 真

(2)

「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」は真である。