与えられた4x4行列の行列式が0となるような$x$の値を求め、既知の解$x = -2$と$x = 0$以外の解を求める問題です。行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ x & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式が0となるような$x$の値を求め、既知の解$x = -2$と$x = 0$以外の解を求める問題です。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ x & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ x & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

行列式を計算するために、1行目に関して展開します。

$= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & x & 0 \\ x & 1 & 1 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \end{vmatrix}$

それぞれの3x3行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - x(x-0) + 1(0-1) = 1 - x^2 - 1 = -x^2$

$\begin{vmatrix} 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0(1-0) - x(1-0) + 1(0-x) = -x - x = -2x$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0(0-1) - 1(0-x) + x(1-x^2) = x + x - x^3 = 2x - x^3$

これらの結果を元の式に代入します。

$(-x^2) - (-2x) - x(2x - x^3) = 0$

$-x^2 + 2x - 2x^2 + x^4 = 0$

$x^4 - 3x^2 + 2x = 0$

$x(x^3 - 3x + 2) = 0$

$x = 0$は既知の解なので、$x^3 - 3x + 2 = 0$を解きます。$x = -2$も解なので、$(x+2)$で割ることができます。

$(x+2)(x^2 - 2x + 1) = 0$

$(x+2)(x-1)^2 = 0$

よって、$x = -2$または$x = 1$となります。既知の解は$x = -2$と$x = 0$なので、もう一つの解は$x = 1$です。

3. 最終的な答え

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