問題5は、2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ が $-2 \le x \le 2$ の範囲で最大値5, 最小値-4を取るとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ が $-2 \le x \le 2$ の範囲で最大値5, 最小値-4を取るとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 - 2x) + b = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b = a(x-1)^2 - a + b$

(i) $a > 0$ のとき、下に凸のグラフとなるため、軸 $x=1$ が範囲 $-2 \le x \le 2$ に含まれるので、

$x=1$ で最小値、$x=-2$ で最大値をとります。

最小値: $f(1) = -a + b = -4$

最大値: $f(-2) = a(-2-1)^2 - a + b = 9a - a + b = 8a + b = 5$

連立方程式を解くと、

$8a + b - (-a+b) = 5 - (-4)$

$9a = 9$

$a = 1$

$b = -4 + a = -4 + 1 = -3$

(ii) $a < 0$ のとき、上に凸のグラフとなるため、軸 $x=1$ が範囲 $-2 \le x \le 2$ に含まれるので、

$x=1$ で最大値、$x=-2$ で最小値をとります。

最大値: $f(1) = -a + b = 5$

最小値: $f(-2) = 8a + b = -4$

連立方程式を解くと、

$8a + b - (-a+b) = -4 - 5$

$9a = -9$

$a = -1$

$b = 5 + a = 5 - 1 = 4$

(iii) $a = 0$ のとき、$f(x) = b$ となり、最大値と最小値が一致するため、条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -3$ または $a = -1, b = 4$