与えられた3x3行列の行列式を計算し、その値を求めます。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算し、その値を求めます。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 2 \\

2 & -2 & -2 \\

-2 & 2 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算する方法はいくつかありますが、ここではサラスの公式を用いる方法と、行列の性質を利用する方法を両方示します。

**方法1: サラスの公式**

サラスの公式を使うと、3x3行列の行列式は次のように計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix}

= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

$$

今回の問題の行列に適用すると、

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 2 \\

2 & -2 & -2 \\

-2 & 2 & 2

\end{vmatrix}

= (2 \times -2 \times 2) + (-2 \times -2 \times -2) + (2 \times 2 \times 2) - (2 \times -2 \times -2) - (-2 \times 2 \times 2) - (2 \times -2 \times 2)

$$

$$

= -8 -8 + 8 - 8 + 8 + 8 = -8

$$

**方法2: 行列の性質の利用**

1. 1行目を2でくくり出す：

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 2 \\

2 & -2 & -2 \\

-2 & 2 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \begin{vmatrix}

1 & -1 & 1 \\

2 & -2 & -2 \\

-2 & 2 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 2行目から1行目の2倍を引く。3行目に1行目の2倍を足す:

$$

2 \begin{vmatrix}

1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & -4 \\

0 & 0 & 4

\end{vmatrix}

$$

3. この行列式は、1列目に関して展開すると、

$$

2 \times 1 \times \begin{vmatrix}

0 & -4 \\

0 & 4

\end{vmatrix} = 2 \times (0 \times 4 - (-4) \times 0) = 2 \times 0 = 0

$$

しかし、サラスの公式による計算で-8を得ました。もう一度サラスの公式による計算を見直します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 2 \\

2 & -2 & -2 \\

-2 & 2 & 2

\end{vmatrix}

= (2 \times -2 \times 2) + (-2 \times -2 \times -2) + (2 \times 2 \times 2) - (2 \times -2 \times -2) - (-2 \times 2 \times 2) - (2 \times -2 \times 2)

$$

$$

= -8 -8 + 8 - (-8) - (-8) - (-8)

$$

$$

= -8 - 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8

$$

3. 最終的な答え

8