数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。 $$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。

$$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$$

2. 解き方の手順

(1) n = 1 のとき

左辺 = 4

右辺 = 1 - (-3)^1 = 1 - (-3) = 4

よって、n = 1 のとき、等式は成り立つ。

(2) n = k のとき、等式が成り立つと仮定する。

すなわち、

$$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{k-1} = 1 - (-3)^k$$

が成り立つと仮定する。

(3) n = k + 1 のとき、等式が成り立つことを示す。

n = k + 1 のとき、左辺は

$$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{k-1} + 4 \cdot (-3)^k$$

(2)の仮定より、

$$= (1 - (-3)^k) + 4 \cdot (-3)^k$$

$$= 1 - (-3)^k + 4 \cdot (-3)^k$$

$$= 1 + 3 \cdot (-3)^k$$

$$= 1 - (-3) \cdot (-3)^k$$

$$= 1 - (-3)^{k+1}$$

これは、n = k + 1 のときの右辺である。

したがって、n = k + 1 のときも等式は成り立つ。

(1), (2), (3) より、すべての自然数 n について、等式

$$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$$

は成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 n に対して、

$$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$$

が成り立つ。