方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の一つを $\alpha$ とするとき、$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の一つを $\alpha$ とするとき、$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 8$ を解きます。

$x^3 - 8 = 0$

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x = 2$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ の解は解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$

$\alpha$ は虚数解の一つなので、$\alpha = -1 \pm \sqrt{3}i$ となります。

また、$\alpha$ は $x^3 = 8$ の解でもあるので、$\alpha^3 = 8$ が成り立ちます。

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ に $\alpha^3 = 8$ を代入して次数を下げます。

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = \alpha \cdot \alpha^3 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$

$= 8\alpha + 6 \cdot 8 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 8\alpha^2 + 16\alpha + 48$

$\alpha$ は $x^2 + 2x + 4 = 0$ の解でもあるので、$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$ が成り立ちます。

$\alpha^2 = -2\alpha - 4$ を $8\alpha^2 + 16\alpha + 48$ に代入します。

$8\alpha^2 + 16\alpha + 48 = 8(-2\alpha - 4) + 16\alpha + 48 = -16\alpha - 32 + 16\alpha + 48 = 16$

3. 最終的な答え

16