$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y = 2 \sin \theta \cos \theta + 2 \sin \theta - 2 \cos \theta$ とする。$x = \sin \theta - \cos \theta$ とおくとき、$2 \sin \theta \cos \theta$ を $x$ で表し、$y$ を $x$ を用いて表す。また、$x$ のとり得る値の範囲、$y$ のとり得る値の範囲を求める。さらに、$y = \frac{14}{9}$ のときの $x$ の値を求め、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y = 2 \sin \theta \cos \theta + 2 \sin \theta - 2 \cos \theta$ とする。$x = \sin \theta - \cos \theta$ とおくとき、$2 \sin \theta \cos \theta$ を $x$ で表し、$y$ を $x$ を用いて表す。また、$x$ のとり得る値の範囲、$y$ のとり得る値の範囲を求める。さらに、$y = \frac{14}{9}$ のときの $x$ の値を求め、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sin \theta - \cos \theta$ の両辺を2乗すると、

$x^2 = (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$.

したがって、$2 \sin \theta \cos \theta = 1 - x^2$。 (アの解答は①)

$y = 2 \sin \theta \cos \theta + 2 (\sin \theta - \cos \theta) = 1 - x^2 + 2x = -x^2 + 2x + 1$。

(2) $x = \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$。

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$。

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \le 1$。

ゆえに、$-1 \le x \le \sqrt{2}$。 (イの解答は $\sqrt{2}$, ウの解答は $\frac{\pi}{4}$)

(3) $y = -x^2 + 2x + 1 = -(x-1)^2 + 2$。

$-1 \le x \le \sqrt{2}$ における $y$ の値の範囲は、

$x = 1$ のとき最大値 $y = 2$, $x = -1$ のとき最小値 $y = -2$。

したがって、$-2 \le y \le 2$。

(4) $y = \frac{14}{9}$ のとき、$-x^2 + 2x + 1 = \frac{14}{9}$。

$9x^2 - 18x + 5 = 0$.

$(3x - 1)(3x - 5) = 0$.

$x = \frac{1}{3}, \frac{5}{3}$.

$-1 \le x \le \sqrt{2}$ より、$x = \frac{1}{3}$。

$x = \sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$.

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$.

両辺を2乗して、$\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$.

$1 - 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$.

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{8}{9}$.

$\sin \theta + \cos \theta = z$ とおくと、

$z^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$.

$z = \pm \frac{\sqrt{17}}{3}$.

$\theta$ の範囲より、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta + \cos \theta \gt 0$. よって、$z = \frac{\sqrt{17}}{3}$.

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$, $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{3}$.

$2 \sin \theta = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{17}}{3}$.

$\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$.

$2 \cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{3} - \frac{1}{3}$.

$\cos \theta = \frac{\sqrt{17} - 1}{6}$.

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: $\sqrt{2}$

ウ: $\frac{\pi}{4}$

エオ: -1

カ: $\sqrt{2}$

キク: -2

ケ: 2

コ: 1

サ: 3

シ: 1

ス: +

セソ: 17

タ: 6

チッ: 1

テ: +

トナ: 17

ニ: 6