与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。問題には2つの連立一次方程式系(1)と(2)が含まれている。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。問題には2つの連立一次方程式系(1)と(2)が含まれている。

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いて連立一次方程式を解く。クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列とその変数の列を定数項に置き換えた行列の行列式を用いて表現する。

(1)の連立一次方程式

$\begin{cases} 3x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \\ -x_1 + 5x_2 - 2x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}$

係数行列の行列式$D$を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 3(15 - 2) - (-1)(-3 + 2) + 3(1 - 5) = 3(13) + 1 - 12 = 39 + 1 - 12 = 28$

$x_1$を求めるために、第一列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_1$を計算する。

$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2) - (-1)(3 + 4) + 3(-1 - 10) = 13 + 7 - 33 = -13$

$x_2$を求めるために、第二列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_2$を計算する。

$D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3(3 + 4) - 1(-3 + 2) + 3(-2 - 1) = 21 + 1 - 9 = 13$

$x_3$を求めるために、第三列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_3$を計算する。

$D_3 = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 3(10 + 1) - (-1)(-2 - 1) + 1(1 - 5) = 33 - 3 - 4 = 26$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-13}{28}$

$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{13}{28}$

$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$

(2)の連立一次方程式

$\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 - 3x_3 = 5 \\ -x_1 + 2x_2 + 5x_3 = -1 \end{cases}$

係数行列の行列式$D$を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 1(5 + 6) - (-1)(15 - 3) + 2(6 + 1) = 11 + 12 + 14 = 37$

$x_1$を求めるために、第一列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_1$を計算する。

$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 1(5 + 6) - (-1)(25 - 3) + 2(10 + 1) = 11 + 22 + 22 = 55$

$x_2$を求めるために、第二列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_2$を計算する。

$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & -3 \\ -1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 1(25 - 3) - 1(15 - 3) + 2(-3 + 5) = 22 - 12 + 4 = 14$

$x_3$を求めるために、第三列を定数項に置き換えた行列の行列式$D_3$を計算する。

$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 10) - (-1)(-3 + 5) + 1(6 + 1) = -11 - 2 + 7 = -6$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{55}{37}$

$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{14}{37}$

$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{-6}{37}$

3. 最終的な答え

(1)

$x_1 = -\frac{13}{28}, x_2 = \frac{13}{28}, x_3 = \frac{13}{14}$

(2)

$x_1 = \frac{55}{37}, x_2 = \frac{14}{37}, x_3 = -\frac{6}{37}$