(2) (ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。 (2) (イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。 (3) $\sqrt{a^2-2\sqrt{a^2-2a+1}}$ を整理せよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(2) (ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

(2) (イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

(3) $\sqrt{a^2-2\sqrt{a^2-2a+1}}$ を整理せよ。

2. 解き方の手順

(2) (ア)

まず、$\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ の形を $\sqrt{(x+y)^2}$ の形に変形することを考えます。

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ であることを利用します。

$28+10\sqrt{3} = x^2 + y^2 + 2xy$ となる $x, y$ を探します。

$10\sqrt{3} = 2xy$ と考えると $xy = 5\sqrt{3}$ となります。

$x = 5, y = \sqrt{3}$ とすると、 $x^2 + y^2 = 25 + 3 = 28$ となり、条件を満たします。

したがって、$\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{(5+\sqrt{3})^2} = 5+\sqrt{3}$ となります。

(2) (イ)

同様に、$\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ の形を $\sqrt{(x-y)^2}$ の形に変形することを考えます。

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ であることを利用します。

$27-7\sqrt{5} = x^2 + y^2 - 2xy$ となる $x, y$ を探します。

$7\sqrt{5} = 2xy$ と考えると $xy = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ となります。

少し複雑ですが、 $x = \frac{7}{\sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ とすると、$x^2+y^2 = \frac{49}{2}+\frac{5}{2} = \frac{54}{2} = 27$となり、条件を満たします。

したがって、$\sqrt{27-7\sqrt{5}} = \sqrt{(\frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})^2} = \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{7\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$となります。

(3)

$\sqrt{a^2-2\sqrt{a^2-2a+1}}$ を整理します。

まず、$a^2-2a+1 = (a-1)^2$ であることに注目します。

$\sqrt{a^2-2\sqrt{a^2-2a+1}} = \sqrt{a^2-2\sqrt{(a-1)^2}} = \sqrt{a^2-2|a-1|}$ となります。

$a \geq 1$ のとき、$\sqrt{a^2-2(a-1)} = \sqrt{a^2-2a+2} = \sqrt{(a-1)^2+1}$ となります。

$a < 1$ のとき、$\sqrt{a^2-2(1-a)} = \sqrt{a^2+2a-2} = \sqrt{(a+1)^2-3}$ となります。

ただし、この形ではこれ以上簡単にできません。元の問題に誤りがある可能性があります。

$|a-1|=\begin{cases}a-1&a\geq 1\\1-a&a<1\end{cases}$

$\sqrt{a^2-2|a-1|}=\begin{cases}\sqrt{a^2-2a+2}&a\geq 1\\\sqrt{a^2+2a-2}&a<1\end{cases}$

3. 最終的な答え

(2) (ア) $5+\sqrt{3}$

(2) (イ) $\frac{7\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

(3) $\begin{cases}\sqrt{a^2-2a+2}&a\geq 1\\\sqrt{a^2+2a-2}&a<1\end{cases}$