項数 $n$ の数列 $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ が与えられている。 (1) この数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表す。 (2) この数列の和を求める。

1. 問題の内容

項数 $n$ の数列 $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ が与えられている。

(1) この数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表す。

(2) この数列の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列の第 $k$ 項を求める。

数列の第 $k$ 項は $k \cdot (n - (k-1))$ と表せる。これを整理する。

(2) 数列の和を求める。

数列の和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} k(n - k + 1)$

と表せる。

この式を展開し、$\sum_{k=1}^{n} k$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2$ の公式を使って計算する。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \sum_{k=1}^{n} k(n - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (nk - k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} ( (n+1)k - k^2)$

$= (n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2 = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} (3(n+1) - (2n+1)) = \frac{n(n+1)}{6} (3n+3-2n-1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 第 $k$ 項: $k(n-k+1)$

(2) 和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$