(2) (ア) $\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ と (イ) $\sqrt{27 - 7\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。 (3) $\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}}$ を整理せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(2)の(ア)と(イ)、(3)の3問を解きます。

1. 問題の内容

(2) (ア) $\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ と (イ) $\sqrt{27 - 7\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

(3) $\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}}$ を整理せよ。

2. 解き方の手順

(2) (ア)

$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ を簡単にします。根号の中身を $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$ の形に変形することを考えます。$10\sqrt{3} = 2pq$ となるように $p, q$ を探します。

$28 + 10\sqrt{3} = 25 + 3 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (5 + \sqrt{3})^2$

したがって、

$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = 5 + \sqrt{3}$

(2) (イ)

$\sqrt{27 - 7\sqrt{5}}$ を簡単にします。同様に根号の中身を $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$ の形に変形することを考えます。$7\sqrt{5} = 2pq$ となるように $p, q$ を探します。

$27 - 7\sqrt{5} = \frac{54 - 14\sqrt{5}}{2} = \frac{49 + 5 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{(7 - \sqrt{5})^2}{2}$

したがって、

$\sqrt{27 - 7\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{(7 - \sqrt{5})^2}{2}} = \frac{|7 - \sqrt{5}|}{\sqrt{2}} = \frac{7 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{(7 - \sqrt{5})\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

(3)

$\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}}$ を整理します。

まず、根号の中の $a^2 - 2a + 1$ は $(a-1)^2$ と変形できます。

したがって、

$\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}} = \sqrt{a^2 - 2\sqrt{(a-1)^2}} = \sqrt{a^2 - 2|a-1|}$

ここで場合分けをします。

(i) $a \ge 1$ のとき $|a-1| = a - 1$ なので、

$\sqrt{a^2 - 2(a-1)} = \sqrt{a^2 - 2a + 2} = \sqrt{(a-1)^2 + 1}$

(ii) $a < 1$ のとき $|a-1| = 1 - a$ なので、

$\sqrt{a^2 - 2(1-a)} = \sqrt{a^2 + 2a - 2} = \sqrt{(a+1)^2 - 3}$

3. 最終的な答え

(2) (ア) $5 + \sqrt{3}$

(2) (イ) $\frac{7\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

(3)

$a \ge 1$ のとき $\sqrt{(a-1)^2 + 1}$

$a < 1$ のとき $\sqrt{(a+1)^2 - 3}$