$n^2 - 18n + 72$ が素数となる整数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n^2 - 18n + 72$ が素数となる整数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解する。

$n^2 - 18n + 72 = (n - 6)(n - 12)$

$(n - 6)(n - 12)$ が素数となるためには、2つの因数のうち一方が1または-1でなければならない。もう一方は素数または素数の符号を変えた数となる。

(i) $n - 6 = 1$ のとき、 $n = 7$。

このとき、$(n - 6)(n - 12) = (1)(7 - 12) = 1 \times (-5) = -5$。 $-5$は素数ではない。

(ii) $n - 6 = -1$ のとき、 $n = 5$。

このとき、$(n - 6)(n - 12) = (-1)(5 - 12) = (-1) \times (-7) = 7$。 $7$は素数である。

(iii) $n - 12 = 1$ のとき、 $n = 13$。

このとき、$(n - 6)(n - 12) = (13 - 6)(1) = 7 \times 1 = 7$。 $7$は素数である。

(iv) $n - 12 = -1$ のとき、 $n = 11$。

このとき、$(n - 6)(n - 12) = (11 - 6)(-1) = (5)(-1) = -5$。 $-5$は素数ではない。

したがって、$n = 5$ および $n = 13$ のときに、$n^2 - 18n + 72$ は素数となる。

3. 最終的な答え

$n = 5, 13$