2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

となります。

(1) $\alpha + \beta$ の場合、$a = 1$, $b = 3$, $c = -1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

(2) $\alpha \beta$ の場合、$a = 1$, $b = 3$, $c = -1$ なので、

$\alpha \beta = \frac{-1}{1} = -1$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ の場合、以下の公式を利用します。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

したがって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

これに(1)と(2)の結果を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -3$

(2) $\alpha \beta = -1$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$