与えられた4元連立1次方程式 $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$ $a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$ $a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$ が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ここで$\alpha, \beta, \gamma$は実定数)を持つとき、行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた4元連立1次方程式

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$

$a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$

$a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$

が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ここで$\alpha, \beta, \gamma$は実定数)を持つとき、行列式

$\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列を用いて表すと、

$Ax = 0$

ここで

$A = \begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\alpha \\

\beta \\

1 \\

\gamma

\end{pmatrix}$

この連立一次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は、$A$の行列式が0になることである。

つまり、$\det(A) = 0$となる。

3. 最終的な答え

0