与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求めます。 行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求めます。

行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、行列を簡約化し、線形独立な行（または列）の数を数えます。簡約化には行基本変形を利用します。

(1) まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

(2) 2行目から1行目の3倍を引きます。（第2行を $R_2$, 第1行を $R_1$ とすると、$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$）

3行目から1行目の2倍を引きます。（$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$）

4行目から1行目の4倍を引きます。（$R_4 \rightarrow R_4 - 4R_1$）

$A'' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -3 & -14 & -11 \end{pmatrix}$

(3) 2行目を2で割ります。（$R_2 \rightarrow \frac{1}{2}R_2$）

$A''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -3 & -14 & -11 \end{pmatrix}$

(4) 3行目から2行目を引きます。（$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$）

4行目から2行目を引きます。（$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$）

$A'''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 0 & -1/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & -5/2 & -25/2 & -29/2 \end{pmatrix}$

(5) 3行目を-2倍します。（$R_3 \rightarrow -2R_3$）

$A''''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -5/2 & -25/2 & -29/2 \end{pmatrix}$

(6) 4行目に3行目の5/2倍を加えます。（$R_4 \rightarrow R_4 + \frac{5}{2}R_3$）

$A'''''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}$

(7) 4行目を2倍します。（$R_4 \rightarrow 2R_4$）

$A''''''' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は、4つの線形独立な行を持っています。

3. 最終的な答え

rank A = 4