与えられた2つの2次式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 6x + 7$ (2) $2x^2 - 2x + 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 6x + 7$

(2) $2x^2 - 2x + 5$

2. 解き方の手順

与えられた2次式を因数分解するために、まずそれぞれの2次方程式の解を求め、次にそれらの解を用いて因数分解を行います。

(1) $x^2 + 6x + 7$

まず、$x^2 + 6x + 7 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a=1, b=6, c=7$ なので、

$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$$

よって、解は $\alpha = -3 + \sqrt{2}, \beta = -3 - \sqrt{2}$ です。

したがって、$x^2 + 6x + 7 = (x - (-3 + \sqrt{2}))(x - (-3 - \sqrt{2})) = (x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$ と因数分解できます。

(2) $2x^2 - 2x + 5$

まず、$2x^2 - 2x + 5 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a=2, b=-2, c=5$ なので、

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{2 \pm 6i}{4} = \frac{1 \pm 3i}{2}$$

よって、解は $\alpha = \frac{1 + 3i}{2}, \beta = \frac{1 - 3i}{2}$ です。

したがって、$2x^2 - 2x + 5 = 2(x - \frac{1 + 3i}{2})(x - \frac{1 - 3i}{2})$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$

(2) $2(x - \frac{1 + 3i}{2})(x - \frac{1 - 3i}{2})$