## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つのシグマ記号で表された式を計算する問題です。

1つ目の問題は $\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$ を計算すること。

2つ目の問題は $\sum_{i=3}^{7} (2i+1)$ を計算すること。

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2. 解き方の手順

### 1つ目の問題

$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$ を計算します。

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$ とおくと、

$1 = A(n+2) + Bn$

$n=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$n=-2$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{4} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6})]$

$= \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - \frac{11}{30}] = \frac{1}{2} [\frac{45-11}{30}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{30} = \frac{17}{30}$

### 2つ目の問題

$\sum_{i=3}^{7} (2i+1)$ を計算します。

$\sum_{i=3}^{7} (2i+1) = (2 \cdot 3 + 1) + (2 \cdot 4 + 1) + (2 \cdot 5 + 1) + (2 \cdot 6 + 1) + (2 \cdot 7 + 1)$

$= 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55$

別の解き方として等差数列の和の公式を用いることができます。

初項は $2(3)+1=7$, 末項は $2(7)+1=15$, 項数は $7-3+1=5$

したがって、

$\sum_{i=3}^{7} (2i+1) = \frac{(7+15) \cdot 5}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = 11 \cdot 5 = 55$

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3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：17/30

2つ目の問題の答え：55