(1) シグマ記号で表された和 $\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$ を計算する。 (2) 数列 $2, 6, 18, 54, 162, \dots$ の初項から8番目の項までの和をシグマ記号で表し、その和を計算する。

1. 問題の内容

(1) シグマ記号で表された和 $\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$ を計算する。

(2) 数列 $2, 6, 18, 54, 162, \dots$ の初項から8番目の項までの和をシグマ記号で表し、その和を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$ の計算

まず、$\frac{1}{n(n+2)}$ を部分分数分解する。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$ とおく。

$1 = A(n+2) + Bn$

$1 = (A+B)n + 2A$

$A+B = 0$, $2A = 1$ より、 $A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)} = \sum_{n=1}^{4} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{11}{30} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{45-11}{30} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{30} = \frac{17}{30}$

(2) 数列 $2, 6, 18, 54, 162, \dots$ について

初項は $a=2$、公比は $r=3$ の等比数列である。

初項から8番目の項までの和 $S_8$ は、

$S_8 = \sum_{n=1}^{8} 2 \cdot 3^{n-1}$

等比数列の和の公式より、

$S_8 = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(3^8 - 1)}{3-1} = \frac{2(6561-1)}{2} = 6560$

3. 最終的な答え

(1) 17/30

(2) 初項: 2、公比: 3、$\sum_{n=1}^{8} 2 \cdot 3^{n-1}$、和: 6560