整式$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると余りが$5x-2$であり、$(x-2)(x-3)$で割ると余りが$-x+10$である。このとき、$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると余りが$5x-2$であり、$(x-2)(x-3)$で割ると余りが$-x+10$である。このとき、$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q_1(x) + 5x-2$

$P(2) = 5(2) - 2 = 8$

$P(x)$を$(x-2)(x-3)$で割ったときの商を$Q_2(x)$とすると、

$P(x) = (x-2)(x-3)Q_2(x) - x+10$

$P(2) = -2 + 10 = 8$

$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ったときの商を$Q_3(x)$、余りを$ax+b$とすると、

$P(x) = (x+3)(x-3)Q_3(x) + ax+b$

$P(-3) = -3a + b$

$P(3) = 3a + b$

$P(x) = (x-2)(x+3)Q_1(x) + 5x-2$より

$P(-3) = ((-3)-2)((-3)+3)Q_1(-3) + 5(-3)-2 = -15-2 = -17$

$P(x) = (x-2)(x-3)Q_2(x) - x+10$より

$P(3) = (3-2)(3-3)Q_2(3) - 3+10 = 7$

したがって、

$-3a + b = -17$

$3a + b = 7$

2つの式を足すと

$2b = -10$

$b = -5$

$3a - 5 = 7$

$3a = 12$

$a = 4$

よって余りは$4x-5$

3. 最終的な答え

$4x-5$