$n$ を正の奇数とするとき、二項定理を用いて次の等式を導け。 ${}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_{n-1} = {}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

1. 問題の内容

$n$ を正の奇数とするとき、二項定理を用いて次の等式を導け。

${}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_{n-1} = {}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

2. 解き方の手順

二項定理より、

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_k x^k = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_1 x + {}_{n}C_2 x^2 + \dots + {}_{n}C_n x^n$

$x=1$ を代入すると、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_k = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_n$

$2^n = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_n$

$x=-1$ を代入すると、

$(1-1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_k (-1)^k = {}_{n}C_0 - {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 - {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

$0 = {}_{n}C_0 - {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 - {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

$2^n = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

$0 = {}_{n}C_0 - {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 - {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

これらを足し合わせると、

$2^n = 2({}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + {}_{n}C_4 + \dots + {}_{n}C_{n-1})$

$2^{n-1} = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + {}_{n}C_4 + \dots + {}_{n}C_{n-1}$

同様に、引き算をすると、

$2^n = {}_{n}C_0 + {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

$0 = {}_{n}C_0 - {}_{n}C_1 + {}_{n}C_2 - {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

$2^n = 2({}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n)$

$2^{n-1} = {}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$

よって、

${}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_{n-1} = {}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n = 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

${}_{n}C_0 + {}_{n}C_2 + \dots + {}_{n}C_{n-1} = {}_{n}C_1 + {}_{n}C_3 + \dots + {}_{n}C_n$