$n$ は自然数、$a, b$ は $|a| + |b| \le 1$ を満たす実数とする。関数 $f(x) = ax^{2n} + b$ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$n$ は自然数、$a, b$ は $|a| + |b| \le 1$ を満たす実数とする。関数 $f(x) = ax^{2n} + b$ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f(x) - x$ と定義します。 つまり、$g(x) = ax^{2n} + b - x$ となります。

$f(x) = x$ の実数解が存在することは、$g(x) = 0$ の実数解が存在することと同値です。

次に、$g(-1)$ と $g(1)$ の符号を調べます。

$g(-1) = a(-1)^{2n} + b - (-1) = a + b + 1$

$g(1) = a(1)^{2n} + b - 1 = a + b - 1$

ここで、 $|a| + |b| \le 1$ であるから、 $-|a| - |b| \ge -1$ となり、

$-1 \le a+b \le 1$ が成立します。

したがって、$0 \le a+b+1 \le 2$ であり、$g(-1) \ge 0$ となります。

また、$-2 \le a+b-1 \le 0$ であり、$g(1) \le 0$ となります。

$g(x)$ は連続関数なので、$g(-1) \ge 0$ かつ $g(1) \le 0$ ならば、中間値の定理より、$-1 \le x \le 1$ の範囲に $g(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在します。

もし、$g(-1) = 0$ であれば、$x = -1$ が $f(x) = x$ の解となり、$-1 \le x \le 1$ を満たします。

同様に、$g(1) = 0$ であれば、$x = 1$ が $f(x) = x$ の解となり、$-1 \le x \le 1$ を満たします。

$g(-1) > 0$ かつ $g(1) < 0$ の場合、中間値の定理より $-1 < x < 1$ に $g(x) = 0$ となる $x$ が存在します。

いずれの場合でも、$f(x) = x$ の実数解が $-1 \le x \le 1$ の範囲に存在することが示されました。

3. 最終的な答え

方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在する。