与えられた2つの2次不等式を解く問題です。 (1) $3x^2 + 5x - 2 \ge 0$ (2) $-2x^2 + x + 5 > 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次不等式を解く問題です。

(1) $3x^2 + 5x - 2 \ge 0$

(2) $-2x^2 + x + 5 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 + 5x - 2 \ge 0$

まず、左辺を因数分解します。

$3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2)$

したがって、不等式は

$(3x - 1)(x + 2) \ge 0$

となります。

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$3x - 1 = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}$ のときです。

$x + 2 = 0$ となるのは $x = -2$ のときです。

数直線を考えると、$x \le -2$ または $x \ge \frac{1}{3}$ のとき、不等式は成立します。

(2) $-2x^2 + x + 5 > 0$

両辺に $-1$ をかけて、

$2x^2 - x - 5 < 0$

左辺を因数分解します。因数分解できないので、解の公式を利用して $2x^2 - x - 5 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 40}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$

したがって、$\frac{1 - \sqrt{41}}{4} < x < \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x \le -2$ または $x \ge \frac{1}{3}$

(2) $\frac{1 - \sqrt{41}}{4} < x < \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$