問題は2つの方程式を解くことです。 (1) $\log_3(x+1)^2 = 2$ (2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

1. 問題の内容

問題は2つの方程式を解くことです。

(1) $\log_3(x+1)^2 = 2$

(2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3(x+1)^2 = 2$ を解く。

まず、真数条件を確認します。$(x+1)^2 > 0$ より、$x \neq -1$。

次に、対数の性質を使って式を変形します。

$\log_3(x+1)^2 = 2$

$(x+1)^2 = 3^2$

$(x+1)^2 = 9$

$x+1 = \pm 3$

$x = -1 \pm 3$

$x = 2, -4$

真数条件より、$x \neq -1$であるため、両方の解が有効です。

(2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$ を解く。

まず、真数条件を確認します。$x > 0$ かつ $x+7 > 0$ より、$x > 0$。

次に、対数の性質を使って式を変形します。

$\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

$\log_2 (x(x+7)) = 3$

$x(x+7) = 2^3$

$x(x+7) = 8$

$x^2 + 7x = 8$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

$(x+8)(x-1) = 0$

$x = -8, 1$

真数条件より、$x > 0$ であるため、$x = 1$ のみが有効です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -4$

(2) $x = 1$