与えられた行列が正則とならないような実数 $k$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの行列に対して $k$ の値を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & k^2 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & k \\ -5 & k^2+1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が正則とならないような実数 $k$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの行列に対して $k$ の値を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & k^2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & k \\ -5 & k^2+1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列が正則でない（特異である）ための条件は、その行列式が0になることです。したがって、それぞれの行列の行列式を計算し、それが0となるような $k$ の値を求めます。

(1) の行列 $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式は、

$1 \cdot 3 - k \cdot 2 = 3 - 2k$

これが0になるのは、

$3 - 2k = 0$

$2k = 3$

$k = \frac{3}{2}$

(2) の行列 $\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & k^2 \end{pmatrix}$ の行列式は、

$4 \cdot k^2 - 6 \cdot 6 = 4k^2 - 36$

これが0になるのは、

$4k^2 - 36 = 0$

$4k^2 = 36$

$k^2 = 9$

$k = \pm 3$

(3) の行列 $\begin{pmatrix} 2 & k \\ -5 & k^2+1 \end{pmatrix}$ の行列式は、

$2 \cdot (k^2+1) - k \cdot (-5) = 2k^2 + 2 + 5k = 2k^2 + 5k + 2$

これが0になるのは、

$2k^2 + 5k + 2 = 0$

$(2k + 1)(k + 2) = 0$

$2k + 1 = 0$ または $k + 2 = 0$

$k = -\frac{1}{2}$ または $k = -2$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{3}{2}$

(2) $k = \pm 3$

(3) $k = -\frac{1}{2}, -2$