与えられた3つの命題を証明します。 (1) 対称行列 $S_1$ と $S_2$ の和 $S_1 + S_2$ が対称行列であることを示す。 (2) 交代行列 $A_1$ と $A_2$ の和 $A_1 + A_2$ が交代行列であることを示す。 (3) 対称行列 $S$ と直交行列 $P$ について、$P^{-1}SP$ が対称行列であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた3つの命題を証明します。

(1) 対称行列 $S_1$ と $S_2$ の和 $S_1 + S_2$ が対称行列であることを示す。

(2) 交代行列 $A_1$ と $A_2$ の和 $A_1 + A_2$ が交代行列であることを示す。

(3) 対称行列 $S$ と直交行列 $P$ について、$P^{-1}SP$ が対称行列であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 対称行列の和が対称行列であることの証明

対称行列 $S_1$ と $S_2$ はそれぞれ $S_1^T = S_1$ と $S_2^T = S_2$ を満たします。

和 $S_1 + S_2$ の転置を計算します。

$(S_1 + S_2)^T = S_1^T + S_2^T = S_1 + S_2$

したがって、$S_1 + S_2$ は対称行列です。

(2) 交代行列の和が交代行列であることの証明

交代行列 $A_1$ と $A_2$ はそれぞれ $A_1^T = -A_1$ と $A_2^T = -A_2$ を満たします。

和 $A_1 + A_2$ の転置を計算します。

$(A_1 + A_2)^T = A_1^T + A_2^T = -A_1 - A_2 = -(A_1 + A_2)$

したがって、$A_1 + A_2$ は交代行列です。

(3) $P^{-1}SP$ が対称行列であることの証明

対称行列 $S$ は $S^T = S$ を満たし、直交行列 $P$ は $P^T = P^{-1}$ を満たします。

$P^{-1}SP$ の転置を計算します。

$(P^{-1}SP)^T = P^T S^T (P^{-1})^T = P^T S (P^T)^T = P^{-1}SP$

なぜなら、$P$が直交行列だから $P^T = P^{-1}$, そして、$S$が対称行列だから $S^T = S$です。また、 $(P^{-1})^T = (P^T)^T = P$。

したがって、$P^{-1}SP$ は対称行列です。

3. 最終的な答え

(1) 対称行列 $S_1, S_2$ の和 $S_1 + S_2$ は対称行列である。

(2) 交代行列 $A_1, A_2$ の和 $A_1 + A_2$ は交代行列である。

(3) 対称行列 $S$ と直交行列 $P$ について、$P^{-1}SP$ は対称行列である。