与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ が、任意の $\theta$ に対して直交行列であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ が、任意の $\theta$ に対して直交行列であることを示す。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が直交行列であるためには、$A A^T = I$ を満たす必要がある。ここで、$A^T$ は $A$ の転置行列、$I$ は単位行列である。

まず、$A$ の転置行列 $A^T$ を求める。

$A^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、$A A^T$ を計算する。

$A A^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A A^T = \begin{pmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & \cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta & 0 \\ \sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta + \cos^2\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

三角関数の恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いると、

$A A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

したがって、$A A^T = I$ が成り立つので、$A$ は直交行列である。

3. 最終的な答え

行列 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ は直交行列である。