与えられた行列 $ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ が任意の $\theta$ について直交行列であることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ が任意の $\theta$ について直交行列であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

直交行列の定義は、$A^T A = I$ (または $AA^T = I$) を満たす行列$A$のことです。ここで、$A^T$は$A$の転置行列、$I$は単位行列です。

与えられた行列を$A$とおくと、

$A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A$の転置行列$A^T$は、

$A^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^T A$は、

$A^T A = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & -\cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta & 0 \\ -\sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

三角関数の恒等式$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$より、

$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

同様に、$AA^T = I$も成立します。

したがって、$A$は直交行列です。

3. 最終的な答え

与えられた行列 $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ は直交行列である。