画像には2種類の問題があります。 (問題1)対数の計算問題：(1)～(4) (問題2)方程式をxについて解く問題：(1)～(8)

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には2種類の問題があります。

(問題1)対数の計算問題：(1)～(4)

(問題2)方程式をxについて解く問題：(1)～(8)

2. 解き方の手順

(問題1)

(1) $\log_2 8$

$8 = 2^3$なので、$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2) $\log_5 125$

$125 = 5^3$なので、$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

(3) $\log_{3} \frac{1}{3} + \log_3 9$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$なので、$\log_{3} \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

$9 = 3^2$なので、$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

したがって、$\log_{3} \frac{1}{3} + \log_3 9 = -1 + 2 = 1$

(4) $\log_5 15 - \log_5 3$

対数の性質より、$\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$であるから、

$\log_5 15 - \log_5 3 = \log_5 \frac{15}{3} = \log_5 5 = 1$

(問題2)

(1) $3x + 3 = 4y - 1$

$3x = 4y - 1 - 3$

$3x = 4y - 4$

$x = \frac{4y - 4}{3}$

(2) $5x + 4 = 7x + 9$

$5x - 7x = 9 - 4$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2}$

(3) $3^{x} - 9^{x+1} + 1 = 0$

$3^x - (3^2)^{x+1} + 1 = 0$

$3^x - 3^{2x+2} + 1 = 0$

$3^x - 3^{2x} \cdot 3^2 + 1 = 0$

$3^x - 9 \cdot (3^x)^2 + 1 = 0$

$y = 3^x$とおくと、$y - 9y^2 + 1 = 0$となり、$9y^2 - y - 1 = 0$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(9)(-1)}}{2(9)} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{18}$

$3^x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{18}$

$x = \log_3 \frac{1 \pm \sqrt{37}}{18}$

ここで、$\frac{1 - \sqrt{37}}{18} < 0$となり、対数の中身は正でなければならないので、解は$x = \log_3 \frac{1 + \sqrt{37}}{18}$のみとなる。

(4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = 5$

$\frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = 5$

$\frac{3}{2x} = 5$

$3 = 10x$

$x = \frac{3}{10}$

(5) $\log x + \log 3 = 0$

$\log(3x) = 0$

$3x = 10^0 = 1$

$x = \frac{1}{3}$

(6) $(x+1)^5 = (y+5)^5$

両辺の5乗根を取ると

$x + 1 = y + 5$

$x = y + 5 - 1$

$x = y + 4$

(7) $x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

(8) $2x^2 - 7x - 15 = 0$

$(2x+3)(x-5) = 0$

$2x+3 = 0$または$x-5 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$または$x = 5$

3. 最終的な答え

(問題1)

(1) 3

(2) 3

(3) 1

(4) 1

(問題2)

(1) $x = \frac{4y - 4}{3}$

(2) $x = -\frac{5}{2}$

(3) $x = \log_3 \frac{1 + \sqrt{37}}{18}$

(4) $x = \frac{3}{10}$

(5) $x = \frac{1}{3}$

(6) $x = y + 4$

(7) $x = -1$

(8) $x = -\frac{3}{2}, 5$