与えられた数列の和を計算します。数列は $\sum_{k=1}^{30} \frac{1}{3k^2+3k}$ で表されます。この式を部分分数分解し、和を計算することで、最終的な答えを求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。数列は $\sum_{k=1}^{30} \frac{1}{3k^2+3k}$ で表されます。この式を部分分数分解し、和を計算することで、最終的な答えを求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列を変形します。

$\sum_{k=1}^{30} \frac{1}{3k^2+3k} = \sum_{k=1}^{30} \frac{1}{3k(k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{30} \frac{1}{k(k+1)}$

次に、$\frac{1}{k(k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$

$1 = A(k+1) + Bk$

$k = 0$ のとき、$1 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow A = 1$

$k = -1$ のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow B = -1$

したがって、$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ となります。

これを用いて、元の数列の和を計算します。

$\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{30} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{3} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{30} - \frac{1}{31}\right)\right]$

これは望遠鏡和（telescoping sum）になっているため、多くの項が打ち消し合い、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{31}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{31-1}{31}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{30}{31}\right) = \frac{10}{31}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{31}$