与えられた3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式に整数解が存在するかどうかを調べるために、定数項である -6 の約数を試してみます。約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ です。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$ となり、$x=1$ は解の一つです。

したがって、$x-1$ は $x^3 + 4x^2 + x - 6$ の因数です。

多項式の割り算（または組立除法）を行って、$x^3 + 4x^2 + x - 6$ を $x-1$ で割ります。

\[

\begin{array}{c|cccc}

& 1 & 4 & 1 & -6 \\

1 & & 1 & 5 & 6 \\

\hline

& 1 & 5 & 6 & 0 \\

\end{array}

\]

よって、$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x^2 + 5x + 6)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 + 5x + 6 = 0$ を解きます。

因数分解すると、$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = 0$ となります。

したがって、$x = -2$ または $x = -3$ です。

3. 最終的な答え

したがって、3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ の解は、$x = 1, -2, -3$ です。

答え: $x = 1, -2, -3$