2次方程式 $x^2 - 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $(\alpha + 2)(\beta + 2)$ (2) $\alpha^2 + \beta^2$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $(\alpha + 2)(\beta + 2)$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 6$

$\alpha \beta = 3$

が成り立ちます。これらを利用して各問題を解きます。

(1)

$(\alpha + 2)(\beta + 2) = \alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4$

これに $\alpha + \beta = 6$ と $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$(\alpha + 2)(\beta + 2) = 3 + 2(6) + 4 = 3 + 12 + 4 = 19$

(2)

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

これに $\alpha + \beta = 6$ と $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (6)^2 - 2(3) = 36 - 6 = 30$

(3)

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta}$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2 = 30$ であり、$\alpha \beta = 3$ なので、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{30}{3} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) 30

(3) 10