与えられた4つの2次式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 - 4x + 2$ (2) $x^2 - 5x + 7$ (3) $2x^2 + 2x + 3$ (4) $4x^2 - 4x - 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 - 4x + 2$

(2) $x^2 - 5x + 7$

(3) $2x^2 + 2x + 3$

(4) $4x^2 - 4x - 1$

2. 解き方の手順

因数分解が可能な場合は因数分解を行い、不可能な場合は解の公式を用いて解を求めます。

(1) $x^2 - 4x + 2$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8 > 0$。実数解を持ちます。因数分解はできないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 4x + 2 = (x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

(2) $x^2 - 5x + 7$

判別式 $D = (-5)^2 - 4(1)(7) = 25 - 28 = -3 < 0$。実数解を持ちません。因数分解できません。解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{-3}}{2(1)} = \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、$x^2 - 5x + 7 = (x - (\frac{5 + i\sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{5 - i\sqrt{3}}{2}))$

(3) $2x^2 + 2x + 3$

判別式 $D = 2^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20 < 0$。実数解を持ちません。因数分解できません。解の公式を使うと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-20}}{2(2)} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{5}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{5}}{2}$

よって、$2x^2 + 2x + 3 = 2(x - (\frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{5}}{2}))$

(4) $4x^2 - 4x - 1$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(4)(-1) = 16 + 16 = 32 > 0$。実数解を持ちます。因数分解はできないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2(4)} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

よって、$4x^2 - 4x - 1 = 4(x - (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{2}}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

(2) $(x - (\frac{5 + i\sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{5 - i\sqrt{3}}{2}))$

(3) $2(x - (\frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{5}}{2}))$

(4) $4(x - (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{2}}{2}))$