$2^x + 2^{-x} = 5$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x + 2^{-x} = 5$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$4^x$ と $4^{-x}$ を $2^x$ と $2^{-x}$ で表します。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$4^{-x} = (2^2)^{-x} = (2^{-x})^2$

したがって、$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2$ となります。

次に、与えられた条件 $2^x + 2^{-x} = 5$ を利用して $(2^x)^2 + (2^{-x})^2$ を計算します。

$(2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2$

ここで、$2^x + 2^{-x} = 5$ であるから、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 5^2 = 25$

したがって、

$(2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2 = 25$

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 25 - 2 = 23$

よって、$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 23$ となります。

3. 最終的な答え

$4^x + 4^{-x} = 23$