$(\frac{1}{2})^x - (\frac{1}{2})^{-x} = 4$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{2})^x - (\frac{1}{2})^{-x} = 4$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{1}{2})^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^x$であることに注意する。

また、$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$である。

したがって、与えられた式は $2^{-x} - 2^x = 4$と書き換えられる。

この式を変形して、$2^x - 2^{-x} = -4$を得る。

ここで、$4^x + 4^{-x}$を求めることを考える。

$(2^x - 2^{-x})^2 = (2^x)^2 - 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x - 2 + 4^{-x}$となる。

したがって、$4^x + 4^{-x} = (2^x - 2^{-x})^2 + 2$と書ける。

$2^x - 2^{-x} = -4$であるから、$4^x + 4^{-x} = (-4)^2 + 2 = 16 + 2 = 18$となる。

3. 最終的な答え

$4^x + 4^{-x} = 18$