$a>0$, $a^{2x} = 3$のとき、$(a^{4x} - a^{-4x}) \div (a^x - a^{-x})$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$, $a^{2x} = 3$のとき、$(a^{4x} - a^{-4x}) \div (a^x - a^{-x})$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$a^{4x} - a^{-4x}$を因数分解することを考えます。

$a^{4x} - a^{-4x} = (a^{2x})^2 - (a^{-2x})^2$なので、和と差の積の公式が使えます。

$a^{4x} - a^{-4x} = (a^{2x} - a^{-2x})(a^{2x} + a^{-2x})$

さらに、$a^{2x} - a^{-2x} = (a^x)^2 - (a^{-x})^2$なので、同様に和と差の積の公式を使うと

$a^{2x} - a^{-2x} = (a^x - a^{-x})(a^x + a^{-x})$

したがって、$a^{4x} - a^{-4x} = (a^x - a^{-x})(a^x + a^{-x})(a^{2x} + a^{-2x})$

与えられた式に代入すると、

$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}} = \frac{(a^x - a^{-x})(a^x + a^{-x})(a^{2x} + a^{-2x})}{a^x - a^{-x}} = (a^x + a^{-x})(a^{2x} + a^{-2x})$

ここで、$a^{2x} = 3$より、$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{3}$なので、

$a^{2x} + a^{-2x} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

また、$(a^x + a^{-x})^2 = a^{2x} + 2 + a^{-2x} = a^{2x} + a^{-2x} + 2 = 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{10}{3} + 2 = \frac{16}{3}$

$a > 0$より、$a^x + a^{-x} > 0$であるから、$a^x + a^{-x} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

よって、

$(a^x + a^{-x})(a^{2x} + a^{-2x}) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{40\sqrt{3}}{9}$