$x > 0$ のとき、$2^x + 2^{-x} = 3$ が与えられています。このとき、$2^x - 2^{-x}$ の値を求め、根号を含む形で解答する場合は、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えます。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$2^x + 2^{-x} = 3$ が与えられています。このとき、$2^x - 2^{-x}$ の値を求め、根号を含む形で解答する場合は、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えます。

2. 解き方の手順

まず、$a = 2^x$ とおくと、$2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{a}$ となります。

与えられた式は $a + \frac{1}{a} = 3$ と書き換えられます。

両辺に $a$ をかけると、$a^2 + 1 = 3a$ となり、$a^2 - 3a + 1 = 0$ という二次方程式が得られます。

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a = 2^x$ なので、$2^x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ です。

求める値は $2^x - 2^{-x} = a - \frac{1}{a}$ です。

$a - \frac{1}{a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} - \frac{2}{3 \pm \sqrt{5}} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} - \frac{2(3 \mp \sqrt{5})}{(3 \pm \sqrt{5})(3 \mp \sqrt{5})} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} - \frac{2(3 \mp \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} - \frac{2(3 \mp \sqrt{5})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} - \frac{3 \mp \sqrt{5}}{2}$

複号同順で、$a - \frac{1}{a} = \frac{3 \pm \sqrt{5} - (3 \mp \sqrt{5})}{2} = \frac{\pm 2\sqrt{5}}{2} = \pm \sqrt{5}$

$x > 0$ のとき、$2^x > 2^{-x}$ となるので、$2^x - 2^{-x} > 0$ となります。

したがって、$2^x - 2^{-x} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$