整数 $n$ が $n \le 2 + \sqrt{7} < n + 1$ を満たすとき、$n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整数 $n$ が $n \le 2 + \sqrt{7} < n + 1$ を満たすとき、$n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ の近似値を考えます。

$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$ であることがわかります。

より正確な範囲を調べるために、$\sqrt{7}$ の整数部分が2であることを利用し、$2 + \sqrt{7}$ がどの整数の間にあるか考えます。

$2 < \sqrt{7} < 3$ なので、$2 + 2 < 2 + \sqrt{7} < 2 + 3$ となり、$4 < 2 + \sqrt{7} < 5$ が得られます。

ここで、$2.6^2 = 6.76$ および $2.7^2 = 7.29$ なので、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ となります。

したがって、$2 + 2.6 < 2 + \sqrt{7} < 2 + 2.7$ より、$4.6 < 2 + \sqrt{7} < 4.7$ となります。

問題の条件は、$n \le 2 + \sqrt{7} < n + 1$ であり、整数 $n$ を求めることです。

$4.6 < 2 + \sqrt{7} < 4.7$ より、 $n = 4$ が条件を満たします。

$4 \le 2 + \sqrt{7} < 5$ であり、 $n \le 2 + \sqrt{7} < n + 1$ に当てはまります。

3. 最終的な答え

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