$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}$ と見て、$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}$$

$$= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$$

次に、分母の $2\sqrt{6}$ を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{2 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$