(6) $x + 2y + z = 0$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}$ の値を求める。 (7) $x, y, z$ が $x + 2y + 2z = 0$ かつ $x + y - z = 1$ を満たすとき、$axy + byz + czx = 1$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(6) $x + 2y + z = 0$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}$ の値を求める。

(7) $x, y, z$ が $x + 2y + 2z = 0$ かつ $x + y - z = 1$ を満たすとき、$axy + byz + czx = 1$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(6)

まず、$x + 2y + z = 0$ より $x + z = -2y$ である。

両辺を2乗すると、

$(x + z)^2 = (-2y)^2$

$x^2 + 2xz + z^2 = 4y^2$

$x^2 + z^2 = 4y^2 - 2xz$

したがって、

$x^2 + y^2 + z^2 = 5y^2 - 2xz$

一方、$x + 2y + z = 0$ より $x + y + z = -y$ である。

これより、

$xy + yz + zx = y(x + z) + zx = y(-2y) + zx = zx - 2y^2$

求める値は、$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx} = \frac{5y^2 - 2xz}{zx - 2y^2}$

$x+2y+z = 0$ より $x = -2y-z$.

これを $xy + yz + zx$ に代入すると、

$(-2y-z)y + yz + z(-2y-z) = -2y^2 - yz + yz -2yz - z^2 = -2y^2 -2yz -z^2$.

よって $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx} = \frac{(-2y-z)^2 + y^2 + z^2}{y(-2y-z)+yz+z(-2y-z)} = \frac{4y^2+4yz+z^2+y^2+z^2}{-2y^2-yz+yz-2yz-z^2} = \frac{5y^2+4yz+2z^2}{-2y^2-2yz-z^2}$.

$x+2y+z=0$を変形して、$z=-x-2y$

$\frac{x^2+y^2+(-x-2y)^2}{xy+y(-x-2y)+(-x-2y)x} = \frac{x^2+y^2+x^2+4xy+4y^2}{xy-xy-2y^2-x^2-2xy} = \frac{2x^2+4xy+5y^2}{-x^2-2xy-2y^2}$

$x+2y+z=0 \implies z=-x-2y$ を $x^2 + y^2 + z^2$ と $xy + yz + zx$ に代入すると、

$x^2 + y^2 + (-x-2y)^2 = x^2 + y^2 + x^2 + 4xy + 4y^2 = 2x^2 + 5y^2 + 4xy$

$xy + y(-x-2y) + (-x-2y)x = xy - xy - 2y^2 - x^2 - 2xy = -x^2 - 2y^2 - 2xy$

求める値は $\frac{2x^2 + 5y^2 + 4xy}{-x^2 - 2y^2 - 2xy}$

$x + 2y + z = 0$ より、$z = -x - 2y$ であるから

$xy + yz + zx = xy + y(-x-2y) + (-x-2y)x = xy -xy -2y^2 -x^2 - 2xy = -x^2 - 2xy - 2y^2$

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (-x-2y)^2 = x^2 + y^2 + x^2 + 4xy + 4y^2 = 2x^2 + 4xy + 5y^2$

$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy+yz+zx} = \frac{2x^2+4xy+5y^2}{-x^2-2xy-2y^2}$

ここで、$z = -x-2y$ なので、$xyz \neq 0$ から、$x \neq 0, y \neq 0, -x-2y \neq 0$.

仮に $x = y$とすると、$\frac{2x^2 + 4x^2 + 5x^2}{-x^2 - 2x^2 - 2x^2} = \frac{11x^2}{-5x^2} = -\frac{11}{5}$.

仮に $x = 2y$とすると、$\frac{2(4y^2) + 4(2y)y + 5y^2}{-4y^2 - 2y(2y) - 2y^2} = \frac{8y^2 + 8y^2 + 5y^2}{-4y^2 - 4y^2 - 2y^2} = \frac{21}{-10} = -2.1$.

$2x^2+4xy+5y^2 = k(-x^2-2xy-2y^2)$ より

$(2+k)x^2 + (4+2k)xy + (5+2k)y^2 = 0$.

判別式 $D = (4+2k)^2 - 4(2+k)(5+2k) = 0$.

$4(2+k)^2 - 4(10+9k+2k^2) = 0$.

$(4+4k+k^2) - (10+9k+2k^2) = 0$.

$-k^2 -5k -6 = 0$.

$k^2 + 5k + 6 = 0$.

$(k+2)(k+3) = 0$.

$k = -2, -3$.

$k = -2$ のとき、$0x^2+0xy+y^2 = 0$ よって $y = 0$となり、$xyz \neq 0$に反する。

$k = -3$ のとき、$-x^2-2xy-y^2 = 0$ よって、$(x+y)^2 = 0$, $x = -y$. $z = -x-2y = y-2y = -y = x$.

$x = z$ ならば、$2x^2 + 4xy + 5y^2 / -x^2 - 2xy - 2y^2 = 2x^2 -4x^2 + 5x^2 / -x^2 + 2x^2 - 2x^2 = 3x^2 / -x^2 = -3$.

(7)

$x + 2y + 2z = 0$ より $x = -2y - 2z$.

$x + y - z = 1$ に代入して $(-2y-2z) + y - z = 1$, $-y - 3z = 1$, $y = -1 - 3z$.

$x = -2(-1-3z) - 2z = 2+6z-2z = 2+4z$.

$axy+byz+czx = a(2+4z)(-1-3z) + b(-1-3z)z + c(2+4z)z = 1$

$a(-2-6z-4z-12z^2) + b(-z-3z^2) + c(2z+4z^2) = 1$

$-12az^2 - 10az - 2a - 3bz^2 - bz + 4cz^2 + 2cz = 1$

$(-12a-3b+4c)z^2 + (-10a-b+2c)z - 2a = 1$.

$-12a-3b+4c = 0$

$-10a-b+2c = 0$

$-2a = 1$

$a = -1/2$

$5+b+2c = 0$, $b = -5-2c$

$6+3(-5-2c)+4c = 0$

$6 - 15 - 6c + 4c = 0$

$-9 - 2c = 0$

$c = -9/2$

$b = -5 - 2(-9/2) = -5 + 9 = 4$

3. 最終的な答え

(6) $-3$

(7) $a = -\frac{1}{2}, b = 4, c = -\frac{9}{2}$