第4項が55、第11項が6である等差数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求める。

1. 問題の内容

第4項が55、第11項が6である等差数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

第4項が55であることから、

$a_4 = a + (4-1)d = a + 3d = 55$

第11項が6であることから、

$a_{11} = a + (11-1)d = a + 10d = 6$

この2つの式から $a$ と $d$ を求める。

$a + 10d = 6$

$a + 3d = 55$

上の式から下の式を引くと、

$7d = 6 - 55 = -49$

$d = -7$

これを $a + 3d = 55$ に代入すると、

$a + 3(-7) = 55$

$a - 21 = 55$

$a = 76$

したがって、一般項は

$a_n = 76 + (n-1)(-7) = 76 - 7n + 7 = -7n + 83$

(2) $S_n$ が最大になるのは、$a_n > 0$ である最大の $n$ まで足し合わせるときである。

$a_n = -7n + 83 > 0$ を満たす $n$ を求める。

$-7n > -83$

$n < \frac{83}{7} \approx 11.86$

したがって、$a_{11} > 0$ であり、$a_{12} < 0$ であるので、$n=11$ のとき $S_n$ が最大となる。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ より

$S_{11} = \frac{11}{2}(a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2}(76 + 6) = \frac{11}{2}(82) = 11 \times 41 = 451$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -7n + 83$

(2) $n = 11$, $S_{11} = 451$