5つの数字0, 1, 3, 5, 7から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 作れる整数は何個か。 (2) 作れる整数のうち、3の倍数は何個か。 (3) 作れる整数のうち、6の倍数は何個か。 (4) 作れる整数のうち、15の倍数は何個か。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 3, 5, 7から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 作れる整数は何個か。

(2) 作れる整数のうち、3の倍数は何個か。

(3) 作れる整数のうち、6の倍数は何個か。

(4) 作れる整数のうち、15の倍数は何個か。

2. 解き方の手順

(1) 整数は何個あるか。

まず、百の位に使える数字は0以外の4個です。十の位には、百の位で使った数字以外の4個、一の位には、百の位と十の位で使った数字以外の3個が使えます。

したがって、作れる整数の個数は、

$4 \times 4 \times 3 = 48$

(2) 3の倍数は何個あるか。

3の倍数となるのは、選んだ3つの数字の和が3の倍数になる場合です。5つの数字から3つ選ぶ組み合わせで、和が3の倍数になるのは、

(0, 1, 5), (0, 3, 3), (0, 3, 6), (0, 5, 7), (1, 3, 5), (1, 5, 6), (3, 5, 7), (3, 6, 7)のいずれかです。このうち、0, 1, 3, 5, 7の中から選ぶ場合、(0, 1, 5), (1, 3, 5), (3, 5, 7)です。

各組み合わせで出来る3桁の整数を考えます。

(0, 1, 5)の場合、百の位は1か5なので、$2 \times 2 \times 1 = 4$通りです。

(1, 3, 5)の場合、百の位は1か3か5なので、$3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

(3, 5, 7)の場合、百の位は3か5か7なので、$3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

したがって、3の倍数の個数は、

$4 + 6 + 6 = 16$

(3) 6の倍数は何個あるか。

6の倍数となるのは、3の倍数であり、かつ一の位が偶数になる場合です。

つまり、(0, 1, 5)の組み合わせで一の位が0になる場合、(0,1,5)の組み合わせで1と5は百の位で使いきっているので0は使えません。一の位が0になる場合、1と5の並び替えになり、$2 \times 1 = 2$通りです。

(1, 3, 5)の場合、一の位が3, 5の場合は奇数なのでありえません。

(3, 5, 7)の場合、一の位が3, 5, 7の場合は奇数なのでありえません。

一の位が0になる場合のみ考えれば良いので、0を含む組み合わせを探します。

(0, 1, 5)の組み合わせの場合、$150, 510$の2個となります。

(0, 3, 3)と(0, 3, 6)は、与えられた数字の中に3と6がないため存在しません。

(0, 5, 7)の組み合わせの場合、$570, 750$の2個となります。

したがって、6の倍数の個数は、

$2 + 2 = 4$

(4) 15の倍数は何個あるか。

15の倍数となるのは、3の倍数であり、かつ一の位が0か5になる場合です。

一の位が0になるのは、(0, 1, 5)の組み合わせで$150, 510$、(0, 5, 7)の組み合わせで$570, 750$。

一の位が5になるのは、(0, 1, 5)の組み合わせで$105$、(1, 3, 5)の組み合わせで$135, 315$。

(3, 5, 7)は一の位が5になることはない。

つまり、(0, 1, 5), (0, 5, 7), (1, 3, 5)

(0, 1, 5)からできる15の倍数は$150, 510$の2個

(1, 3, 5)からできる15の倍数は$135, 315$の2個

(0, 5, 7)からできる15の倍数は一の位が0,5にならないので、ありません。5になる場合は組み合わせに5,7がないのでありえない

したがって、15の倍数の個数は、

$2 + 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 16個

(3) 4個

(4) 4個