6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。 (1) 4300 より大きい整数は何個あるか。 (2) 5000 より大きい偶数 は何個あるか。

1. 問題の内容

6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。

(1) 4300 より大きい整数は何個あるか。

(2) 5000 より大きい偶数 は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4300 より大きい整数について考えます。

千の位が4の場合、百の位は3, 4, 5, 6のいずれかです。

* 千の位が4で、百の位が3の場合：

残りの2桁は、残った4つの数字から2つ選んで並べる順列なので、 $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

* 千の位が4で、百の位が4, 5, 6 のいずれかの場合、4は使えません。この場合は存在しません。

* 千の位が5か6の場合：

千の位が5か6のいずれかなので、2通りあります。残りの3桁は、残った5つの数字から3つ選んで並べる順列なので、 $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。

したがって、 $2 \times 60 = 120$ 通りです。

合計すると、 $12 + 120 = 132$ 通りです。

(2) 5000 より大きい偶数について考えます。

千の位が5か6の場合を考えます。

* 千の位が5の場合：

一の位は2, 4, 6 のいずれかなので、3通りあります。

残りの2桁は、残った4つの数字から2つ選んで並べる順列なので、 $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

したがって、 $3 \times 12 = 36$ 通りです。

* 千の位が6の場合：

一の位は2, 4 のいずれかなので、2通りあります。

残りの2桁は、残った4つの数字から2つ選んで並べる順列なので、 $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

したがって、 $2 \times 12 = 24$ 通りです。

合計すると、 $36 + 24 = 60$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 132個

(2) 60個