商品Aと商品Bがある。商品Aは仕入れ値の15%の利益を見込んで定価をつけ、商品Bは仕入れ値の18%の利益を見込んで定価をつけた。商品Aを7個と商品Bを4個売ったときの利益は合わせて192円である。 (1) 商品Aと商品Bの定価を求める。 (2) 商品Aと商品Bを100個ずつ仕入れたが、いくつか壊れてしまい、残った商品を全て売ると利益は全部で2640円となった。壊れた商品Aと商品Bの個数を求める。

1. 問題の内容

商品Aと商品Bがある。商品Aは仕入れ値の15%の利益を見込んで定価をつけ、商品Bは仕入れ値の18%の利益を見込んで定価をつけた。商品Aを7個と商品Bを4個売ったときの利益は合わせて192円である。

(1) 商品Aと商品Bの定価を求める。

(2) 商品Aと商品Bを100個ずつ仕入れたが、いくつか壊れてしまい、残った商品を全て売ると利益は全部で2640円となった。壊れた商品Aと商品Bの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 商品Aの仕入れ値を $a$ 円、商品Bの仕入れ値を $b$ 円とする。

商品Aの定価は $1.15a$ 円、商品Bの定価は $1.18b$ 円である。

7個の商品Aと4個の商品Bを売ったときの利益は192円なので、

$7(1.15a - a) + 4(1.18b - b) = 192$

$7(0.15a) + 4(0.18b) = 192$

$1.05a + 0.72b = 192$

また、商品Aと商品Bを100個ずつ仕入れた場合の利益は、

$100(0.15a) + 100(0.18b) = 15a + 18b$

(2) 商品Aと商品Bを100個ずつ仕入れた。壊れた商品Aの個数を $x$ 個、壊れた商品Bの個数を $y$ 個とする。

残った商品Aの個数は $100 - x$ 個、残った商品Bの個数は $100 - y$ 個である。

残った商品を全て売ったときの利益は2640円なので、

$(100 - x)(0.15a) + (100 - y)(0.18b) = 2640$

$15a - 0.15ax + 18b - 0.18by = 2640$

連立方程式を解く。

まず、式 $1.05a + 0.72b = 192$ より $a$ を $b$ で表す。

$1.05a = 192 - 0.72b$

$a = \frac{192 - 0.72b}{1.05}$

$15a + 18b$ の情報がないため、$a$ と $b$ を一意に決定することはできない。問題文に不備がある可能性がある。ここでは、与えられた情報だけでは(1)を解けないことを示す。

仮に、商品Aの仕入れ値が100円だとすると、商品Aの定価は115円、利益は15円。商品Bの仕入れ値が100円だとすると、商品Bの定価は118円、利益は18円となる。

商品Aを7個、商品Bを4個売ったときの利益が192円となるので、

$7 \times 0.15a + 4 \times 0.18b = 192$

$1.05a + 0.72b = 192$

仮に商品Aの仕入れ値を80円とすると、$1.05 \times 80 + 0.72b = 192$ より、 $84 + 0.72b = 192$, $0.72b = 108$, $b = 150$ となる。

このとき、商品Aの定価は $80 \times 1.15 = 92$ 円、商品Bの定価は $150 \times 1.18 = 177$ 円である。

商品Aの仕入れ値を100円とすると、$1.05 \times 100 + 0.72b = 192$ より、$105 + 0.72b = 192$, $0.72b = 87$, $b = \frac{87}{0.72} = 120.833...$ となる。

商品Aの定価は $100 \times 1.15 = 115$ 円、商品Bの定価は $120.833 \times 1.18 = 142.58333...$ 円である。

もし商品Aの仕入れ値と商品Bの仕入れ値が同じである、すなわち $a = b$ という条件が加わると、

$1.05a + 0.72a = 192$

$1.77a = 192$

$a = \frac{192}{1.77} = 108.47$

この場合、商品Aの定価は $108.47 \times 1.15 = 124.74$ 円、商品Bの定価は $108.47 \times 1.18 = 128.00$ 円となる。

もし商品Aと商品Bの仕入れ値が同じ $a$ であり、$15a + 18a = 2640$ であるとすると、$33a = 2640$ なので $a = 80$ となり、商品Aの定価は $80 \times 1.15 = 92$ 円、商品Bの定価は $80 \times 1.18 = 94.4$ 円となる。

仮に商品Aの定価が115円、商品Bの定価が144円であるとする。

商品Aの利益は15円、商品Bの利益は24円。

$15(100-x) + 24(100-y) = 2640$

$1500 - 15x + 2400 - 24y = 2640$

$3900 - 15x - 24y = 2640$

$15x + 24y = 1260$

$5x + 8y = 420$

$x = \frac{420 - 8y}{5}$

$x = 84 - \frac{8}{5} y$

$x$ が整数であるためには $y$ が 5 の倍数である必要がある。

$y = 0$ のとき、$x = 84$

$y = 5$ のとき、$x = 84 - 8 = 76$

$y = 10$ のとき、$x = 84 - 16 = 68$

$y = 15$ のとき、$x = 84 - 24 = 60$

$y = 20$ のとき、$x = 84 - 32 = 52$

$y = 25$ のとき、$x = 84 - 40 = 44$

$y = 30$ のとき、$x = 84 - 48 = 36$

$y = 35$ のとき、$x = 84 - 56 = 28$

$y = 40$ のとき、$x = 84 - 64 = 20$

$y = 45$ のとき、$x = 84 - 72 = 12$

$y = 50$ のとき、$x = 84 - 80 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 情報不足のため定価を決定できません。

(2) 情報不足のため壊れた個数を決定できません。

(仮定: 商品Aの定価が115円, 商品Bの定価が144円 のとき), (壊れた商品A, 壊れた商品B) の組み合わせの例: (84,0), (76,5), (68,10), (60,15), (52,20), (44,25), (36,30), (28,35), (20,40), (12,45), (4,50)