(1) 540の正の約数の個数とその約数の総和を求めよ。 (4) 0, 1, 2, 3, 4から異なる3個の数字を選んで作る3桁の整数のうち、偶数になるものは何個あるか。 (5) 大人3人、子ども2人が1列に並ぶとき、子ども2人が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 540の正の約数の個数とその約数の総和を求めよ。

(4) 0, 1, 2, 3, 4から異なる3個の数字を選んで作る3桁の整数のうち、偶数になるものは何個あるか。

(5) 大人3人、子ども2人が1列に並ぶとき、子ども2人が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足したものを掛け合わせます。

$(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$

したがって、約数の個数は24個です。

約数の総和は、各素因数について、$(1 + p + p^2 + ... + p^n)$ を計算し、掛け合わせます。

$(1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) \times (1 + 5) = (1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) \times (6) = 7 \times 40 \times 6 = 1680$

したがって、約数の総和は1680です。

(4)

3桁の整数を作るので、百の位は0以外の数字を選ぶ必要があります。

3桁の整数が偶数になるのは、一の位が0, 2, 4のいずれかの場合です。

(i) 一の位が0のとき

百の位は1, 2, 3, 4のいずれかから選びます（4通り）。

十の位は残りの3個から選びます（3通り）。

したがって、4 * 3 = 12通り。

(ii) 一の位が2または4のとき

一の位は2通り。

百の位は0以外の数字から選びますが、一の位で使った数字は使えません。

- 百の位が1または3のとき：2通り

- 十の位は残りの3個から選びます（3通り）。

合計で、2 * 2 * 3 = 12通り

百の位に0が使えないので場合分けをした。

したがって、合計で12 + 12 = 24通り。

(5)

まず、大人3人を並べます。これは3! = 3 * 2 * 1 = 6通りです。

次に、大人の間に子どもを入れる場所を考えます。

大人の間と端の4ヶ所に、子ども2人を入れることになります。

4ヶ所から2ヶ所を選ぶ組み合わせは ${}_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通りです。

したがって、並び方は $6 \times 12 = 72$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 約数の個数：24個、約数の総和：1680

(4) 24個

(5) 72通り