分数の列が、$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, ...$ のように群に分けられている。第n群にはn個の分数が入っており、分母はnで、分子は1からnまでの自然数である。 (1) $\frac{3}{10}$ は第何項か。 (2) 第100項を求めよ。

1. 問題の内容

分数の列が、$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, ...$ のように群に分けられている。第n群にはn個の分数が入っており、分母はnで、分子は1からnまでの自然数である。

(1) $\frac{3}{10}$ は第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3}{10}$ が第何項かを求める。

まず、$\frac{3}{10}$が第何群にあるかを考える。$\frac{3}{10}$は分母が10なので、第10群にある。

第n群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、第9群までの項数の合計は、

$\frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$

$\frac{3}{10}$は第10群の3番目の項なので、$\frac{3}{10}$は、

$45 + 3 = 48$

より、第48項である。

(2) 第100項を求める。

第n群までの項数の合計が100を超える最小のnを求める。

$\frac{n(n+1)}{2} > 100$

$n(n+1) > 200$

$n^2 + n - 200 > 0$

$n$について解くと、$n \approx 13.65$となる。

したがって、$n=14$となる。

$\frac{13(13+1)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 13 \times 7 = 91$

第13群の最後の項は第91項なので、第100項は第14群の9番目の項である。

したがって、第100項は$\frac{9}{14}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10}$は第48項である。

(2) 第100項は$\frac{9}{14}$である。