与えられた4つの二次関数について、それぞれのグラフの概形を描き、軸と頂点の座標を求める。 (1) $y = x^2 - 4$ (2) $y = 2x^2 + 1$ (3) $y = -x^2 + 3$ (4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、それぞれのグラフの概形を描き、軸と頂点の座標を求める。

(1) $y = x^2 - 4$

(2) $y = 2x^2 + 1$

(3) $y = -x^2 + 3$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$

2. 解き方の手順

二次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフは、頂点が $(p, q)$ であり、軸が直線 $x=p$ である放物線となる。$a>0$のとき下に凸、$a<0$のとき上に凸である。

与えられた関数をこの形に変形することで、グラフを描き、軸と頂点を求める。

(1) $y = x^2 - 4$

この式は $y = (x-0)^2 - 4$ と変形できる。

よって、頂点は $(0, -4)$ であり、軸は直線 $x=0$ (y軸) である。$x^2$の係数が正なので、下に凸な放物線である。

(2) $y = 2x^2 + 1$

この式は $y = 2(x-0)^2 + 1$ と変形できる。

よって、頂点は $(0, 1)$ であり、軸は直線 $x=0$ (y軸) である。$x^2$の係数が正なので、下に凸な放物線である。

(3) $y = -x^2 + 3$

この式は $y = -(x-0)^2 + 3$ と変形できる。

よって、頂点は $(0, 3)$ であり、軸は直線 $x=0$ (y軸) である。$x^2$の係数が負なので、上に凸な放物線である。

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$

この式は $y = -\frac{1}{2}(x-0)^2 - 2$ と変形できる。

よって、頂点は $(0, -2)$ であり、軸は直線 $x=0$ (y軸) である。$x^2$の係数が負なので、上に凸な放物線である。

3. 最終的な答え

(1)

グラフ：頂点$(0,-4)$、軸：$x=0$、下に凸

(2)

グラフ：頂点$(0,1)$、軸：$x=0$、下に凸

(3)

グラフ：頂点$(0,3)$、軸：$x=0$、上に凸

(4)

グラフ：頂点$(0,-2)$、軸：$x=0$、上に凸