(4) 行列式の多重線形性に関する問題で、与えられた等式が正しいかどうかを判定する。 (5) 行列式の多重線形性に関する問題で、与えられた等式が正しいかどうかを判定する。 (6) 正方行列A, Bに対して、行列式の性質 $|AB| = |BA|$ が成立するかどうかを判定する。 (7) 与えられた行列式の値が偶数になるか奇数になるかを、行列式を計算せずに判定する。

1. 問題の内容

(4) 行列式の多重線形性に関する問題で、与えられた等式が正しいかどうかを判定する。

(5) 行列式の多重線形性に関する問題で、与えられた等式が正しいかどうかを判定する。

(6) 正方行列A, Bに対して、行列式の性質 $|AB| = |BA|$ が成立するかどうかを判定する。

(7) 与えられた行列式の値が偶数になるか奇数になるかを、行列式を計算せずに判定する。

2. 解き方の手順

(4) 行に関する多重線形性（教科書 p.59 定理 3.2(1)）を利用する問題です。1行目を2倍して1行目に足し、多重線形性から行列式は変わらないという性質を使っています。

* 左辺の行列式:

$$$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

5 & 3 & 1 \\

1 & 2 & 4

\end{vmatrix}

+

\begin{vmatrix}

2 & 3 & 4 \\

1 & 3 & 5 \\

2 & 4 & 1

\end{vmatrix}

$$$$

* 右辺の行列式:

$$$$

\begin{vmatrix}

0+2 & 1+3 & 2+4 \\

5+1 & 3+3 & 1+5 \\

1+2 & 2+4 & 4+1

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

2 & 4 & 6 \\

6 & 6 & 6 \\

3 & 6 & 5

\end{vmatrix}

$$$$

左辺を計算すると右辺の行列にならないため、間違っている。

(5) 行に関する多重線形性（教科書 p.59 定理 3.2(2)）を利用する問題です。１行目を２倍して２行目に足し、多重線形性から行列式は変わらないという性質を使っています。

$$$$

\begin{vmatrix}

2 & 6 & 4 \\

18 & 14 & 16 \\

10 & 12 & 8

\end{vmatrix}

= 2

\begin{vmatrix}

1 & 3 & 2 \\

9 & 7 & 8 \\

5 & 6 & 4

\end{vmatrix}

$$$$

左辺の行列の２行目は、１行目の定数倍を足しても変わりません。しかし、ここでは2で割られています。もし2行目を2で割った場合、行列式は1/2倍になります。

よって、間違っている。

(6) $A, B$ を型が等しい正方行列とするとき、$|AB| = |BA|$ が成立するかどうかの問題です。行列式の性質として、$|AB| = |A||B|$ および $|BA| = |B||A|$ が成立します。また、行列式の値はスカラーなので、スカラーの積の順序交換は可能です。したがって、$|A||B| = |B||A|$。よって、$|AB| = |BA|$ は正しいです。

(7) 行列式の値が偶数になるか奇数になるかを判定する問題です。行列式を計算する必要はありません。与えられた行列を $A$ とします。

$$$$

A =

\begin{pmatrix}

22 & 36 & 122 & -10 \\

35 & 21 & -33 & -9 \\

73 & 15 & -23 & 81 \\

19 & 31 & 351 & -9

\end{pmatrix}

$$$$

行列式を計算せずに偶奇性を判断するには、行列式の定義を考えます。行列式の定義は、置換を使った総和で表されます。

しかし、行列の成分に偶数が含まれている場合、計算結果が偶数になる確率が高いです。

1列目を見ると、22が偶数であるため、1列目の22を含む項は全て偶数になります。しかし、他の項が奇数になる可能性もあります。

別の方法として、行列式を計算せずに特定の行または列に注目します。この行列では、1行目に偶数が多く含まれています。もし、すべての成分が偶数であれば、行列式は偶数になります。しかし、この行列には奇数の成分も含まれています。

ここで、行列式の性質として、ある行または列の成分がすべてある数の倍数である場合、その数は行列式の因数になります。しかし、今回の行列にはそのような共通因数はありません。

簡便な方法として、行列の各要素をmod 2で計算し、0または1で置き換えます。

$$$$

A \pmod{2} =

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$$$

この行列式は0になります。これは、行列式が偶数であることを示唆します。

1行がすべて0であるため、この行列の行列式は0なので、元の行列の行列式は偶数です。

3. 最終的な答え

(4)

2. 間違っている

(5)

2. 間違っている

(6)

1. 正しい

(7) 偶数