問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。 問題B：次の3つの条件を満たす2次関数を求める。 (I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの。 (II) $x$軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6。 (III) 点(1, 10)を通る。

1. 問題の内容

問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。

問題B：次の3つの条件を満たす2次関数を求める。

(I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの。

(II) $x$軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6。

(III) 点(1, 10)を通る。

2. 解き方の手順

(1) 問題Aについて

AB = 4より、A, Bの$x$座標は$1 \pm 2$となる。したがって、A( -1, 0), B(3, 0)である。

求める2次関数のグラフの概形は、上に凸なので、グラフ2である。

$y = a(x+1)(x-3)$とおける。

このグラフが(1, 8)を通るので、$8 = a(1+1)(1-3) = a(2)(-2) = -4a$

よって、$a = -2$

(2) 問題Bについて

問題Aで求めた2次関数は$y = -2(x+1)(x-3) = -2(x^2 -2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$

頂点は(1, 8)である。

問題Bのグラフは、軸が$x = p$なので、条件(II)より、$x$軸との交点の$x$座標は、$p \pm 3$

問題Bの2次関数を$y = -2(x - (p-3))(x - (p+3)) = -2(x^2 - 2px + p^2 - 9)$とおく。

これが(1, 10)を通るので、$10 = -2(1 - 2p + p^2 - 9)$

$10 = -2(p^2 - 2p - 8)$

$-5 = p^2 - 2p - 8$

$p^2 - 2p - 3 = 0$

$(p-3)(p+1) = 0$

$p = 3, -1$

$p = 3$のとき、$y = -2(x - (3-3))(x - (3+3)) = -2x(x-6) = -2x^2 + 12x$

$p = -1$のとき、$y = -2(x - (-1-3))(x - (-1+3)) = -2(x+4)(x-2) = -2(x^2 + 2x - 8) = -2x^2 - 4x + 16$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 2

(イ) -1

(ウ) 3

(エ) -2

(オ) p-3

(カ) p+3

(2)(i) (キ) -2(x - (p-3))(x - (p+3))

(ii) $y = -2x^2 + 12x$, $y = -2x^2 - 4x + 16$